またChatGPTに数学について相談してみた。結構良い感じの答えが得られた。
普段の生活はこんな感じが良いらしい。
| 曜日 | 内容 |
|---|---|
| 平日 | 実装・検証 |
| 週末 | 数学整理・論文読む |
実装では必ず可視化することが重要のようだ。
毎日必ずコードで確認する
- 理論 → 数式 → 実装 → 可視化 のループを回す
1章1日以上やりすぎない
- 「最適化・CGに必要な理解」に絞る
演習重視
- 細かい証明より「何が計算されているか」を優先
学ぶ数学はこれだけで良いらしい。
★★★★★（必須・毎日使う）
- 線形代数（最重要）
- 多変数微積分
- 数値最適化
★★★★☆（頻出・論文常連）
- 離散微分幾何
- ベクトル解析（実は重要）
★★★☆☆（分かると一気に楽）
- 確率・統計（軽量）★★★☆☆
- 常微分方程式（最低限）
★★☆☆☆（分野限定で刺さる）
- 群論・リー群（触り）
- フーリエ解析（必要な分だけ）
★☆☆☆☆（ほぼ不要）
- 抽象多様体論の厳密証明
- 圏論
- 代数幾何
- 関数解析の一般論
回答ではもっと細かくピンポイントでやればいい部分だけ教えてくれていて、各分野の全部をまんべんなく学ぶ必要はない。途方もなく長い道のりではないように見える。
嬉しい発見であったのは、線形代数はやっぱりかなり深くやらないといけないということ。本当はそんなことは分かっていたのだけど、今の自分がやってる範囲だと小手先だけの計算しか要求されていないので、CGでは線形代数の特殊なケースしか扱わないのであまり重要ではないのかもしれない、深く学んだところで現実には反映されないのかもしれないと疑念を持っていた。今回、線形代数は本当に重要で、ちゃんと学ばないといけないし、学んでも良いのだという確信が持てた。
時間もだけど本の費用が結構かかりそうなのがつらい。
ChatGPTへの質問ともらった回答は次の通り。
CG研究者が本当に使っている数学だけリストをお願いします。
了解です。
ここでは 「最先端CG研究で“実際に使われている数学だけ”」 を、
重要度順・用途付き・過不足なしでまとめます。
（教科書的に網羅するのではなく、SIGGRAPH論文を読む／実装する視点です）
CG研究者が本当に使っている数学だけリスト
★★★★★（必須・毎日使う）
1. 線形代数（最重要）
CG研究の母語
使うものだけ：
- 内積・ノルム
- 直交基底・正規直交化
- 固有値・固有ベクトル
- SVD
- 正定値行列
- 行列分解（Cholesky, QR）
用途：
- 曲率・法線計算
- 最小二乗
- 形状補間
- 物理シミュレーション
👉 「線形代数が分かる = CGが分かる」
2. 多変数微積分
最適化と幾何の接着剤
使うものだけ：
- 勾配・ヤコビ行列
- ヘッセ行列
- テイラー展開（2次まで）
- 連鎖律
用途：
- エネルギー定義
- 変形・平滑化
- ニューラル手法
3. 数値最適化
研究コードの中核
使うもの：
- 最小二乗
- 勾配降下法
- Newton / Gauss–Newton
- 制約付き最適化（Lagrange）
用途：
- ARAP
- Parameterization
- Simulation
- Neural fitting
★★★★☆（頻出・論文常連）
4. 離散微分幾何
CG専用微分幾何
使うものだけ：
- Cotangent Laplacian
- 離散曲率
- 離散測地線
- Heat Method
用途：
- Geometry Processing
- メッシュ編集
- 曲面解析
👉 純数学の微分幾何より こっちが本体
5. ベクトル解析（実は重要）
- grad / div / rot
- ストークスの定理
用途：
- 流体
- PDE
- 物理ベースCG
★★★☆☆（分かると一気に楽）
6. 確率・統計（軽量）
使うものだけ：
- 平均・分散
- 正規分布
- 最尤推定
- ベイズの直感
用途：
- ノイズ除去
- Neural Rendering
- SLAM連携
7. 常微分方程式（最低限）
使うもの：
- 初期値問題
- 数値積分（Euler, RK）
用途：
- 物理シミュレーション
- アニメーション
★★☆☆☆（分野限定で刺さる）
8. 群論・リー群（触り）
- 回転行列
- SO(3), SE(3)
- 指数写像
用途：
- カメラ
- 剛体運動
- ロボティクス連携
9. フーリエ解析（必要な分だけ）
- FFT
- 周波数領域の直感
用途：
- フィルタ
- 画像処理
- 流体
★☆☆☆☆（ほぼ不要）
- 抽象多様体論の厳密証明
- 圏論
- 代数幾何
- 関数解析の一般論
👉 論文に出てこない or 出てもブラックボックス
数学 → 論文トピック対応表
| 数学 | CGトピック |
|---|---|
| 線形代数 | 全部 |
| 微積分 | Shape Editing |
| 最適化 | ARAP / Poisson |
| 離散微分幾何 | Geometry Processing |
| 確率 | Neural Rendering |
| ODE | Simulation |
最短学習指針（重要）
- 「数学を学ぶ」→ ❌
- 「論文を実装するために数学を拾う」→ ⭕
👉 必要になった数学だけ深掘り
結論
CG研究者の数学 =
線形代数
＋ 微積分
＋ 最適化
＋ 離散微分幾何
これだけで 論文・実装・研究が回ります。
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